25.1 虚假回归问题
线性回归分析是统计学的最常用的模型之一,
但是,
如果回归的自变量和因变量都是时间序列,
回归就不满足回归分析的基本假定:
模型误差项独立同分布。
比如,一元线性回归模型
yt=a+bxt+et, t=1,2,…,n,
需要假定e1,e2,…,et不相关,
零均值,方差同为σ2,
x1,x2,…,xn非随机,
这时最小二乘估计是无偏估计。
当limn→∞1n∑nt=1xt极限存在,
1n∑nt=1(xt−x¯)2有正极限时估计相合,
见定理25.1。
如果et,xt,yt之中有时间序列,
则回归可能不相合,
或者估计相合但是回归结果中的标准误差估计和假设检验有错误。
下面用一些例子说明。
设et iid N(0,502),
xt=t,
yt=2xt+et, t=1,2,…,n.
这时回归是正常的,用模拟说明:
set.seed(101)
n <- 500
spureg01 <- function(n=500){
x <- seq(n)
eps <- rnorm(n)*50
y <- 2 * x + eps
lmr <- lm(y ~ x)
summary(lmr) |> print()
plot(x, y)
abline(lmr, col="red")
invisible(list(x=x, y=y))
}
spureg01(n)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -153.870 -33.591 -0.772 32.220 134.560
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.74231 4.32775 0.172 0.864
## x 1.98451 0.01497 132.572 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 48.31 on 498 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9724, Adjusted R-squared: 0.9724
## F-statistic: 1.758e+04 on 1 and 498 DF, p-value: < 2.2e-16
○○○○○
例25.2 考虑回归误差项为AR(1)序列的情形。
设xt=t,
εt iid N(0,362),
et=yt=0.7et−1+εt,2xt+et, t=1,2,…,n.
这时回归参数估计相合,无偏,
但是估计的标准误差和假设检验结果是错误的:
set.seed(101)
spureg02 <- function(n=500){
x <- seq(n)
eps <- arima.sim(
model=list(ar=c(0.7)), n=n)*36
y <- 2 * x + eps
lmr <- lm(y ~ x)
summary(lmr) |> print()
plot(x, y)
abline(lmr, col="red")
invisible(list(x=x, y=y))
}
sim2 <- spureg02(n)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -137.413 -34.282 0.096 35.279 130.342
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.64699 4.36336 -0.148 0.882
## x 1.96993 0.01509 130.524 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 48.71 on 498 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9716, Adjusted R-squared: 0.9715
## F-statistic: 1.704e+04 on 1 and 498 DF, p-value: < 2.2e-16
应该用同时估计回归与ARMA误差项的方法:
arima(sim2$y, order=c(1,0,0), xreg = sim2$x)
##
## Call:
## arima(x = sim2$y, order = c(1, 0, 0), xreg = sim2$x)
##
## Coefficients:
## ar1 intercept sim2$x
## 0.7018 -1.4932 1.9723
## s.e. 0.0317 10.2735 0.0355
##
## sigma^2 estimated as 1197: log likelihood = -2481.72, aic = 4971.44
直接用普通回归估计的b̂ 的标准误差为0.015,
考虑到误差项序列自相关后的标准误差估计为0.036。
有正的序列自相关时,
用普通回归方法估计的斜率项的标准误差容易偏小,
使得检验结果更倾向于显著。
○○○○○
例25.3 考虑回归误差项为I(1)序列的情形。
设xt=t,
εt iid N(0,82),
et=yt=et−1+εt,2xt+et, t=1,2,…,n.
这时回归参数估计不相合,
但是用普通的回归方法估计,
结果会有较大的R2和系数显著性:
set.seed(101)
spureg03 <- function(n=500){
x <- seq(n)
eps <- cumsum(rnorm(n))*8
y <- 2 * x + eps
lmr <- lm(y ~ x)
summary(lmr) |> print()
plot(x, y)
abline(lmr, col="red")
invisible(list(x=x, y=y))
}
spureg03(n)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -101.312 -21.701 0.489 21.568 92.563
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1.78482 3.31790 0.538 0.591
## x 1.69680 0.01148 147.853 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 37.04 on 498 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9777, Adjusted R-squared: 0.9777
## F-statistic: 2.186e+04 on 1 and 498 DF, p-value: < 2.2e-16
R2的值很大,
从估计的b̂ 和SE(b̂ )看出,
b̂ 的估计显著地偏低。
这说明估计已经不满足相合性。
○○○○○
例25.4 如果xt和yt都是I(1)序列但是独立,
回归结果也可能很显著。
spureg04 <- function(){
set.seed(110)
n <- 500
x <- cumsum(rnorm(n))
y <- cumsum(rnorm(n))*2
lmr <- lm(y ~ x)
summary(lmr) |> print()
plot(x, y)
abline(lmr, col="red")
invisible(list(x=x, y=y, lmr=lmr))
}
sim4 <- spureg04()
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -29.1795 -8.6775 0.0375 8.8982 25.6600
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 2.49701 0.81992 3.045 0.00245 **
## x 0.46871 0.02554 18.350 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 11.51 on 498 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4034, Adjusted R-squared: 0.4022
## F-statistic: 336.7 on 1 and 498 DF, p-value: < 2.2e-16
检验回归残差的序列相关性和单位根:
forecast::Acf(residuals(sim4$lmr))
fUnitRoots::adfTest(residuals(sim4$lmr), lags=1, type="c")
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -1.3595
## P VALUE:
## 0.5525
##
## Description:
## Wed May 10 07:54:08 2023 by user: Lenovo
结果显示回归残差有单位根。
这样的回归称为虚假回归。
两者不应该有线性关系的。
○○○○○
例25.5 如果xt和yt都是某个I(1)序列的线性变换,
则回归结果是有一定意义的,
称这两个序列有“协整关系”。
设
εt iid N(0,1),
ξt iid N(0,22),
ηt iid N(0,22),
zt=xt=yt=zt−1+εt,zt+ξt,2zt+ηt, t=1,2,…,n.
set.seed(101)
spureg05 <- function(n=500){
z <- cumsum(rnorm(n))
x <- z + rnorm(n)*2
y <- 2*z + rnorm(n)*2
lmr <- lm(y ~ x)
summary(lmr) |> print()
plot(x, y)
abline(lmr, col="red")
invisible(list(x=x, y=y, lmr=lmr))
}
sim5 <- spureg05(n)
##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -13.2598 -2.6583 0.1401 2.6900 11.8576
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.0736 0.3024 -3.55 0.000421 ***
## x 1.8743 0.0256 73.23 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.181 on 498 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.915, Adjusted R-squared: 0.9149
## F-statistic: 5362 on 1 and 498 DF, p-value: < 2.2e-16
这个回归估计的标准误差仍不可信,
但是回归残差已经基本平稳:
forecast::Acf(residuals(sim5$lmr))
fUnitRoots::adfTest(residuals(sim5$lmr), lags=1, type="c")
## Warning in fUnitRoots::adfTest(residuals(sim5$lmr), lags = 1, type = "c"):
## p-value smaller than printed p-value
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -15.6707
## P VALUE:
## 0.01
##
## Description:
## Tue May 9 16:33:10 2023 by user: Lenovo
结果显示回归残差没有单位根。
○○○○○
25.2 协整分析概念
对于二元时间序列xt=(x1t,x2t)T,
如果x1t和x2t都是一元单位根过程,
但存在非零线性组合β=(β1,β2)使得
zt=β1x1t+β2x2t弱平稳,
则称两个分量x1t和x2t存在协整关系(cointegration),
(β1,β2)T称为xt的协整向量。
多个分量的多元时间序列可以类似地定义协整关系,
多元时可以有多个协整向量。
25.3 Engle和Granger两阶段法
考虑两个分量的多元时间序列rt。
为了检验协整性,
首先要用一元的单位根检验(如ADF检验)确认两个分量都是单位根过程,
并且差分之后就没有单位根,这样的单位根过程称为“单整”的,
或I(1)序列。
其次,将x1t当作因变量,x2t当作自变量,
作一元线性回归,得到残差et序列,
和回归系数β1,方程为
x1t=β0+β1x2t+et
根据(Engle and Granger 1987)的研究,
回归在协整关系成立时参数估计相合,
但是系数的估计非正态,
所以用线性最小二乘估计得到的点估计可用,
但是结果中的t检验和F检验结果无效。
为了验证协整关系是否成立,
只要对et序列进行一元的单位根检验,
但是因为et是回归残差,
其自由度有变化,
所以统计量p值的计算需要进行调整,
(Phillips and Ouliaris 1990)给出了利用回归残差进行协整检验的方法,
称为Phillips-Ouliaris协整检验。
如果经检验et不存在单位根,
则称两个分量是协整的。
这样的检验方法称为Engle和Granger两阶段法,
利用(Phillips and Ouliaris 1990)方法计算这个检验称为Phillips-Ouliaris协整检验。
但是,这里的两阶段,
其实第二阶段指的是在多元情况下需要找出所有的协整向量,
这需要利用向量误差修正模型(VECM)。
R扩展包tseries中po.test()
可以执行基于EG两阶段法步骤的Phillips-Ouliaris协整检验,
零假设是非协整,
对立假设是存在协整关系。
参见(Phillips and Ouliaris 1990)。
R扩展包urca也提供了Phillips-Ouliaris协整检验。
例4.1
考虑(Pfaff 2008)中的一个例子,
数据为urca包的Raotbl3,
为英国经济的三个季度数据,
从1966年第4季度到1991年第2季度,
都经过季节调整并取了自然对数。
lc是消费,li是收入,lw是财富。
library(urca, quietly = TRUE)
data(Raotbl3)
ts.Raotbl3 <- ts(Raotbl3[,1:3], start=c(1966,4), frequency=4)
数据见附录。
三个序列的时间序列图:
library(quantmod, quietly = TRUE)
plot(as.xts(ts.Raotbl3), type="l",
multi.panel=FALSE, theme="white",
main="英国消费、收入、财富季度数据",
major.ticks="years",
grid.ticks.on = "years")
![英国消费、收入、财富季度数据](http://182.92.67.96/wp-content/uploads/2022/06/lazy.png)
图25.1: 英国消费、收入、财富季度数据
黑色为消费,红色为收入,绿色为财富。
作ADF单位根检验:
fUnitRoots::adfTest(Raotbl3$lc, lags=1, type="ct")
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -1.378
## P VALUE:
## 0.8341
##
## Description:
## Tue Feb 22 12:01:45 2022 by user: Lenovo
fUnitRoots::adfTest(Raotbl3$li, lags=1, type="ct")
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -2.0159
## P VALUE:
## 0.57
##
## Description:
## Tue Feb 22 12:01:45 2022 by user: Lenovo
fUnitRoots::adfTest(Raotbl3$lw, lags=1, type="ct")
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -1.0153
## P VALUE:
## 0.9318
##
## Description:
## Tue Feb 22 12:01:45 2022 by user: Lenovo
结果都不显著,
说明每个都有单位根。
检验其差分:
fUnitRoots::adfTest(diff(Raotbl3$lc), lags=1, type="c")
## Warning in fUnitRoots::adfTest(diff(Raotbl3$lc), lags = 1, type = "c"): p-value
## smaller than printed p-value
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -6.311
## P VALUE:
## 0.01
##
## Description:
## Tue Feb 22 12:01:45 2022 by user: Lenovo
fUnitRoots::adfTest(diff(Raotbl3$li), lags=1, type="c")
## Warning in fUnitRoots::adfTest(diff(Raotbl3$li), lags = 1, type = "c"): p-value
## smaller than printed p-value
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -7.0434
## P VALUE:
## 0.01
##
## Description:
## Tue Feb 22 12:01:45 2022 by user: Lenovo
fUnitRoots::adfTest(diff(Raotbl3$lw), lags=1, type="c")
## Warning in fUnitRoots::adfTest(diff(Raotbl3$lw), lags = 1, type = "c"): p-value
## smaller than printed p-value
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -5.9831
## P VALUE:
## 0.01
##
## Description:
## Tue Feb 22 12:01:45 2022 by user: Lenovo
结果都显著,
说明差分后没有单位根,
三个序列都是一阶差分平稳的(I(1)序列)。
urca包的ur.df()
函数可以检验差分的阶数,
并可以对非随机趋势的类型选取进行检验。
来检验消费lc与收入li是否存在协整关系。
将lc对li作一元回归:
eglm1 <- lm(lc ~ li, data=Raotbl3); summary(eglm1)
##
## Call:
## lm(formula = lc ~ li, data = Raotbl3)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.065949 -0.016067 0.001839 0.017844 0.057295
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.18007 0.14399 -1.251 0.214
## li 1.00731 0.01322 76.203 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.02379 on 97 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9836, Adjusted R-squared: 0.9834
## F-statistic: 5807 on 1 and 97 DF, p-value: < 2.2e-16
结果中的检验不可信,
如果存在协整,因为回归模型是
lc=−0.18+1.01li+et
所以
lc−1.01li=−0.18+et
即(lc,li)T的协整向量为(1,−1.01)。
不考虑自由度调整问题,直接作ADF检验,
但其p值是不准确的,需要使用修改过的临界值。
fUnitRoots::adfTest(residuals(eglm1), lags=1, type="c")
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -2.6351
## P VALUE:
## 0.09127
##
## Description:
## Tue Feb 22 12:01:45 2022 by user: Lenovo
(Phillips and Ouliaris 1990)给出了利用回归残差进行协整检验的方法,
包含两种方法,
方差比方法和多元迹统计量方法。
R扩展包urca的ca.po()
可以用来计算Phillips-Ouliaris检验。
选项demean="constant"
指定有确定性常数趋势,demean="trend"
指定有确定性线性趋势,
缺省为demean="none"
,没有确定性趋势(无漂移)。
选项type="Pu"
指定使用方差比方法,
选项type="Pz"
指定使用多元迹方法,
多元迹方法对哪个分量作为回归因变量不敏感。
检验消费与收入的协整:
library(urca, quietly = TRUE)
summary(ca.po(Raotbl3[-(1:2),c("lc", "li")], type="Pz", demean="constant"))
##
## ########################################
## # Phillips and Ouliaris Unit Root Test #
## ########################################
##
## Test of type Pz
## detrending of series with constant only
##
## Response lc :
##
## Call:
## lm(formula = lc ~ zr)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.047772 -0.007401 0.001410 0.008169 0.048541
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.01183 0.08952 0.132 0.895
## zrlc 1.01799 0.05960 17.080 <2e-16 ***
## zrli -0.01831 0.06074 -0.302 0.764
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.01393 on 93 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9941, Adjusted R-squared: 0.994
## F-statistic: 7844 on 2 and 93 DF, p-value: < 2.2e-16
##
##
## Response li :
##
## Call:
## lm(formula = li ~ zr)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.036705 -0.011532 -0.000549 0.008860 0.053870
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.09644 0.10642 0.906 0.367
## zrlc 0.33183 0.07085 4.683 9.6e-06 ***
## zrli 0.66298 0.07220 9.182 1.1e-14 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.01656 on 93 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9914, Adjusted R-squared: 0.9912
## F-statistic: 5334 on 2 and 93 DF, p-value: < 2.2e-16
##
##
##
## Value of test-statistic is: 39.7042
##
## Critical values of Pz are:
## 10pct 5pct 1pct
## critical values 47.5877 55.2202 71.9273
零假设是没有存在协整关系,
0.05水平的右侧临界值为55.2,
统计量值为39.7,
没有超过临界值,
不拒绝零假设,
认为消费与收入不存在协整关系。
这也可能是PO方法的检验功效不足的问题。
Phillips Ouliaris协整检验在多元时不能用来确定多个独立的协整向量,
这需要利用VECM模型。
R扩展包urca提供了多种协整检验,
除了Phillips-Ouliaris协整检验,
还可以进行Johansen的迹和最大特征值检验。
R扩展包tsDyn提供了Johansen的协整检验,
并可以用AIC或BIC进行秩滞后值选择。
R扩展包CommonTrend可以从协整系统中提取共同的趋势,
并绘图。
R扩展包cointReg提供了协整的回归参数估计、推断功能。
R扩展包vars提供了VAR、VECM、结构VAR(SVAR)等模型的估计、检验,
因果性检验和协整检验的功能。
这里主要讨论从VAR模型的角度定义协整。
25.4 VARMA模型
仿照一元的ARMA模型,
VAR模型可以推广成VARMA模型,
形如
P(B)rt=Q(B)at(25.1)
其中
P(z)=Q(z)=I−Φ1z−⋯−ΦpzpI+Θ1z+⋯+Θqzq
是两个矩阵值的多项式,
假设P(z)和Q(z)没有左公因子,
否则可以消去公因子化简。
VARMA存在同一个模型能够表示为不同参数形式的问题,
所以尽可能使用VAR,避免使用VARMA。
如果需要模拟VARMA或者VAR模型数据,
在R中有扩展包dse的ARMA()
用来指定VARMA的系数,
函数simulate()
根据输入的系数生成模拟数据。
如
library(dse, quietly = TRUE)
#自回归部分系数矩阵
Apoly <- array(c(
1,-0.5,0,
0,-0.4,-0.25,
0,-0.1,0,
1,-0.5,0),
c(3,2,2))
Apoly[2,,]
#滑动平均部分系数矩阵,此处有变换
B <- matrix(c(3,0,0,2),ncol=2)*0.01
#生成模型
var2 <- ARMA(A=Apoly, B=B)
print(var2)
#模拟数据
varsim <- simulate(
var2, sampleT=250,
noise=list(w=matrix(rnorm(500),nrow=250,ncol=2)),
rng=list(seed=c(123456)))
vardat <- matrix(varsim$output, nrow=250, ncol=2)
25.4.1 VARMA模型协整关系
这里将VAR和VARMA模型略推广,
不要求模型一定满足平稳性条件。
如果不然,
因为多元弱平稳其分量一定也是一元弱平稳的,
就不能容许分量存在单位根。
考虑如下的二元VARMA(1,1)模型的例子。
=(x1tx2t)−(0.5−0.25−1.00.5)(x1,t−1×2,t−1)(a1ta2t)+(0.2−0.1−0.40.2)(a1,t−1a2,t−1)(25.2)
其中的扰动at的协方差阵Σ为正定阵。
这个模型不是弱平稳的,
因为|P(z)|=1−z有一个单位根。
将模型改写为
(1−0.5B0.25BB1−0.5B)(x1tx2t)=(1−0.2B0.1B0.4B1−0.2B)(a1ta2t)
利用伴随矩阵,
因为A⋅adj(A)=|A|I,
模型两边都左乘P(B)的伴随矩阵
(1−0.5B−0.25B−B1−0.5B)
而|P(B)|=1−B,
模型转化成
(1−B001−B)(x1tx2t)=(1−0.7B−0.15B−0.6B1−0.7B)(a1ta2t)
即
x1t−x1,t−1=x2t−x2,t−1=a1t−0.7a1,t−1−0.6a2,t−1a2t−0.7a2,t−1−0.15a1,t−1
这两个模型左边是一阶差分,
右边是MA(1)序列,
所以x1t和x2t都是一元单位根过程。
这两个分量并不独立,
因为模型右边包含共同的扰动成分。
设法对两个分量进行线性变换,
使得单位根只出现在一个分量中。
令
L=yt=bt=(1.00.5−2.01.0)(y1ty2t)=L(x1tx2t)Lat
原来的xt模型可以写成
xt=Φxt−1+at+Θat−1
两边左乘L得到关于yt的模型:
yt===LxtLΦxt−1+Lat+LΘat−1LΦL−1yt−1+bt+LΘL−1bt−1
计算其中的系数矩阵,得到xt线性变换得到的yt序列的模型为
=(y1ty2t)−(1000)(y1,t−1y2,t−1)(b1tb2t)+(−0.4000)(b1,t−1b2,t−1)
即
y1t−y1,t−1=y2t=b1t−0.4b1,t−1b2t
其中
y1t=y2t=x1t−2x2t0.5x1t+x2t
y1t仍是一元单位根过程,
但y2t已经是弱平稳列,
所以x1t和x2t之间存在协整关系。
一般地,
对于k元时间序列xt建立了VAR或者VARMA模型后,
如果分量都是一元单位根过程,
但AR部分的特征多项式|P(z)|的根1的重数小于k,
分量间就存在协整关系。
如果特征多项式的根1的重数为h<k,
称k−h为协整因子个数,
这是能找到的线性组合后平稳的线性独立的线性组合系数的个数。
这种线性组合称为协整向量。
在上面的例子中因为y2t平稳所以(0.5,1)T是一个协整向量。
25.5 误差修正模型与协整
25.5.1 误差修正模型
因为在协整系统中,
单位根非平稳分量的个数多于单位根的个数
(通过线性组合可以使得单位根非平稳的分量减少),
所以如果对每个单位根非平稳分量计算差分,
虽然使得分量都平稳了,
但是会造成过度差分,
使得部分分量的ARMA模型的MA部分有单位根,
这样的模型平稳但不可逆,
不可逆的模型在估计和预测上比较困难。
(Engle and Granger 1987)讨论了协整系统的误差修正表示,
称为向量误差修正模型(VECM, vector error correction model)。
以(25.2)的协整系统为例。
令Δxt=xt−xt−1,
模型可以化为
Δxt===xt−xt−1=(Δx1tΔx2t)(−0.5−0.25−1−0.5)xt−1+at+(−0.20.10.4−0.2)at−1(−1−0.5)(0.51.0)xt−1+at+(−0.20.10.4−0.2)at−1
注意到y2t=(0.5,1)xt−1是平稳的,
所以上式两边都是平稳的,
MA部分没有出现单位根,不引入不可逆性。
上式描述了平稳序列。
这样的表示称为VECM。
此表示可以推广到一般的VARMA模型。
对(25.1)的VARMA模型,
如果其中有m个协整因子,m<k,
单位根的个数大于m,
必存在如下的误差修正形式(VECM):
Δxt=αβTxt−1+∑j=1p−1Φ∗jΔxt−j+at+∑j=1qΘjat−j
其中α和β都是k×m列满秩矩阵,
MA部分没有单位根,
m维时间序列yt=βTxt是平稳列(没有单位根),
β的每一列都是xt的一个协整系数。
Φ∗j和α, β都依赖于原来的AR部分的系数矩阵
Φj,关系为:
Φ∗j=αβT=−∑i=j+1pΦi, j=1,2,…,p−1Φp+⋯+Φ1−I=−P(1)
可以对−P(1)作奇异值分解得到α和β,
α和β并不唯一。
当模型参数从样本估计时,
不会有严格的单位根,
也不能通过矩阵秩得到−P(1)=αβT这样的分解,
需要进行检验。
25.5.2 VAR模型的误差修正形式
为简单起见仅考虑VAR模型(不要求平稳性条件)。
VAR模型的估计与解释都更容易。
考虑xt的如下的带有非随机线性趋势项的k维VAR(p)模型
xt=μt+Φ1xt−1+⋯+Φpxt−p+at(25.3)
其中at∼Nk(0,Σ),
μt=μ0+μ1t。
记
P(z)=I−Φ1z−⋯−Φpzp
当用行列式|P(z)|表示z的多项式的所有根都在复平面的单位圆外时{xt}
是弱平稳的(简称平稳的),
在讨论单位根和协整问题时记弱平稳列为I(0)序列。
为简单起见,
设xt的所有分量至多需要一次差分就可以变平稳,
即至多为I(1)序列。
这就是说,
如果分量xit不平稳,
Δxit=xit−xi,t−1就一定是平稳的。
这也是实际的大部分序列都能满足的。
上面的VAR(p)模型有如下的误差修正形式(VECM)
Δxt=μt+Πxt−1+Φ∗1Δxt−1+⋯+Φ∗p−1Δxt−p+1+at(25.4)
其中
Φ∗j=Π=−∑i=j+1pΦi, j=1,2,…,p−1αβT=−P(1)
α和β是满秩的k×m矩阵,
m是协整向量个数。
容易看出Φj可以从VECM的参数中递推地反解为
Φ1=Φj=I+Π+Φ∗1Φ∗j−Φ∗j−1, j=2,…,p, Φ∗p=0
因为假定每个分量至多I(1)
所以VECM式(25.4)中的{Δxt}序列是I(0)序列。
如果xt有单位根,
则|P(1)|=0,
从而Π=−P(1)不满秩。
根据Π的秩,
将(25.4)的VECM分为如下三种情况:
情况1:
rank(Π)=0。
这时Π=0,
xt有k个单位根,
不存在协整关系,
xt不是协整的,
(25.4)的VECM变成了如下的关于Δxt的VAR(p−1)模型
Δxt=μt+Φ∗1Δxt−1+⋯+Φ∗p−1Δxt−p+1+at
只要关于差分序列建模即可。
情况2:
rank(Π)=k满秩。
这时|P(1)|≠0,
没有单位根,
xt本身是平稳列,
只要直接关于xt建立平稳的VAR模型即可。
情况3:
0<m=rank(Π)<k,
这时xt存在协整关系。
下面主要考虑情况3。
Π可以分解为
Πk×k=αβT
其中α和β都是k×m的列满秩矩阵,
β的每一列都是xt的一个协整向量,
m元时间序列ωt=βTxt是I(0)序列。
α称为载荷矩阵(loadings matrix)。
xt有k−m个单位根,
这些单位根给出了xt的k−m个共同趋势,
相当于自由变化的趋势;
而m个协整分量ωt,
则可以看成是xt的k个分量的m个线性约束,
或长期线性依赖关系。
本身就是I(0)的分量可以计入这m个当中。
(25.4)的VECM可以写成
Δxt=μt+αβTxt−1+Φ∗1Δxt−1+⋯+Φ∗p−1Δxt−p+1+at
记m=rank(Π)。
在0<m<k时,
得到这k−m个公共趋势的方法是先计算α
的正交补矩阵α⊥,
α⊥是k×(k−m)矩阵,
(α,α⊥)为满秩k阶方阵,
且αT⊥α=0。
令yt=αT⊥xt,
则yt是m−k元的I(1)序列,
yt不再有协整关系,
在(25.4)的VECM两边同时左乘αT⊥可以去掉
Πxt−1项,
变成了
Δyt=αT⊥μt+αT⊥Φ∗1Δxt−1+⋯+αT⊥Φ∗p−1Δxt−p+1+αT⊥at
将Δyt表示成了右侧的k−m元平稳列的形式。
容易看出Π=αβT的分解是不唯一的,
对任意m阶正交阵Ω,
都有
αβT=αΩΩTβT=(αΩ)(βΩ)T=α∗βT∗
其中α∗和β∗也都是k×m列满秩矩阵。
为此增加约束条件,
要求
β=(Imβ1)
β1为(k−m)×m矩阵。
将xt分解为
xt=(utvt)
ut为m元,
vt为k−m元,
则
βTxt=ut+β1vt。
实际中这可能需要将xt的各分量重新排序使得有单位根的分量(至少有m个)都排在前面,
将没有单位根的分量都排在后面。
为了使得ωt=βTxt平稳,
还需要其它的参数条件,
就像没有协整的I(0)的VAR(1)需要平稳性条件那样。
比如,
考虑有一个协整向量的二元VAR(1)模型,
这里k=2,
m=1,
两个分量都为单位根过程,
VECM为
Δxt=μt+(α1α2)(1β1)xt−1+at
两边同时左乘βT,
注意ωt=βTxt
则Δωt=βTΔxt,所以
Δωt=βTμt+(α1+α2β1)ωt−1+βTat
记bt=βTat,
则{bt}为白噪声列,
将方程左边的ωt−1移项到右边,得
ωt=βTμt+(1+α1+α2β1)ωt−1+bt
为使得模型平稳需要α和β满足
|1+α1+α2β1|<1.
因为协整的条件是0<rank(Π)<k,
所以从数据中估计得到VECM模型后对协整的检验就是对rank(Π)的检验。
(Johansen 1988),
(Johansen 1995),
Reinsel和Ahn(1992)正是这样进行协整检验的。
25.5.3 关于VECM中的非随机趋势
为了基于VECM模型进行协整检验,
需要规定μt的形式,
μt的形式会影响到检验统计量的极限分布。
设xt的所有分量都为I(1)序列。
文献中已有的μt的形式包括:
(1)
μt=0。
这时xt的分量为不带漂移的I(1)过程,
平稳序列ωt=βTxt
均值为零。
(2)
μt=μ0=αc0,
即μt是有特殊形式的非零常数。
VECM变成
Δxt=α(βTxt−1+c0)+Φ∗1Δxt−1+⋯+Φ∗p−1Δxt−p+1+at
这时xt的分量是不带漂移的I(1)过程,
但是平稳列ωt的均值为非零的−c0。
(3)
μt=μ0≠0,
即μt是不带特殊结构的非零常数。
这时xt的分量是带有漂移项μ0的I(1)序列,
且ωt非零均值。
(4)
μt=μ0+αc1t,
即μt是线性项t的系数有特殊结构的线性函数,
VECM变成
Δxt=μ0+α(βTxt−1+c1t)+Φ∗1Δxt−1+⋯+Φ∗p−1Δxt−p+1+at
这时xt的分量是带有漂移项μ0的I(1)过程,
且ωt有非随机的c1t线性趋势项。
(5)
μt=μ0+μ1t,
μ0, μ1非零。
这是没有约束的线性趋势。
这时xt的分量都是带有二次时间趋势的I(1)过程,
ωt是线性趋势项加平稳列。
最后一种情况不常见;
第一种情况在经济序列中也不常见。
第三种情况在许多对数价格序列中常见。
25.5.4 VECM的最大似然估计
设xt有观测数据
{xt,t=1,2,…,T}。
记μt=μdt,
其中dt=(1,t)T。
设Π的秩为m,
0<m<k。
VECM为
Δxt=μdt+αβTxt−1+Φ∗1Δxt−1+⋯+Φ∗p−1Δxt−p+1+at(25.5)
为了求各个参数的最大似然估计,
首先求解如下的多对多的线性回归问题
Δxt=xt−1=γ0dt+Ω1Δxt−1+⋯+Ωp−1Δxt−p+1+utγ1dt+Ξ1Δxt−1+⋯+Ξp−1Δxt−p+1+vt
令û t和v̂ t为最小二乘估计的残差,
定义如下的样本协方差阵
S00=S01=S11=1T−p∑t=p+1Tû tû Tt,1T−p∑t=p+1Tû tv̂ Tt,S10=ST01,1T−p∑t=p+1Tv̂ tv̂ Tt
然后,计算矩阵
S10S−100S01关于S11的广义特征值和特征向量,
即求λ和ξ使得
S10S−100S01ξ=λS11ξ
设k个特征值、特征向量为(λ̂ i,ei),
其中λ̂ 1>λ̂ 2>⋯>λ̂ k,
记e=(e1,e2,…,ek),
标准化使得
eTS11e=Ik。
协整向量组成的矩阵β的未标准化的最大似然估计为
β̂ =(e1,…,em)。
由此可以得到β的满足可辨识条件和标准化条件的MLE,
将得到的估计记为β̂ c,
其中下标c表示需要满足一定的限制条件。
其它参数的MLE可以从下式用最小二乘方法得到:
Δxt=μdt+αβ̂ cxt−1+Φ∗1Δxt−1+⋯+Φ∗p−1Δxt−p+1+at
基于m个协整向量的似然函数的最大值满足
L−2/Tmax∝|S00|∏i=1m(1−λ̂ i)
在计算关于rank(Π)=m的似然比统计量时需要用到这个似然函数最大值。
α和β的正交补可以用如下公式计算:
α̂ ⊥=β̂ ⊥=S−100S11(em+1,…,ek)S11(em+1,…,ek)
25.5.5 基于VECM最大似然估计的Johansen协整检验
在给定了μt形式后,
基于VECM的最大似然估计对rank(Π)进行系列的似然比检验。
记H(m)表示零假设rank(Π)=m,
在序贯地进行检验时可以看成是rank(Π)≤m,
有
H(0)⊂H(1)⊂⋯⊂H(k)
将(25.5)变成
Δxt=μdt+Πxt−1+Φ∗1Δxt−1+⋯+Φ∗p−1Δxt−p+1+at,t=p+1,…,T(25.6)
目标是检验Π的秩,
这等于Π的非零奇异值的个数,
如果能得到Π的相合估计就可以估计rank(Π)。
从(25.6)可以看出,
Π是排除了μt和Δxt−i,
i=1,…,p−1的线性影响后,
Δxt对xt−1的多对多的线性回归系数。
从上面的MLE步骤可知,
调整后的Δxt和xt−1
分别为û t和v̂ t,
所以
û t=Πv̂ t+at
在正态性假定下,
可以根据û t与v̂ t
的典型相关分析的方法估计rank(Π),
λ̂ i是û t与v̂ t
的典型相关系数平方。
Johansen提出了两种检验方法。
首先,
考虑假设
H0:rank(Π)=m⟷Ha:rank(Π)>m
(Johansen 1988)提出如下的似然比统计量:
LRtr(m)=−(T−p)∑i=m+1kln(1−λ̂ i)
如果rank(Π)≤m,
则i>m时λ̂ i应该很小,
因此LRtr(m)也应该很小,
当统计量值超过一个右侧临界值时拒绝零假设。
这个检验称为Johansen迹协整检验。
因为单位根的存在,
似然比统计量在零假设下的渐近分布不再服从卡方分布,
其临界值需要用模拟方法。
从H(0)开始到H(1)序贯地进行检验,
在第一次被接受时,
令被接受的H(m)的m为选定的秩。
(Johansen 1988)提出的另一种似然比检验方法针对如下假设
H0:rank(Π)=m⟷Ha:rank(Π)=m+1
取最大特征值统计量
LRmax(m)=−(T−p)ln(1−λ̂ m+1)
当统计量值超过一个右侧临界值时拒绝零假设。
临界值也需要通过模拟获得。
从H(0)开始到H(1)序贯地进行检验,
在第一次被接受时,
令被接受的H(m)的m为选定的秩。
25.5.6 VECM预测
估计的VECM模型可以用于预测。
首先可以从模型得到Δxt序列的预测值,
然后可以从Δxt反解得到xt的预测值。
VECM预测与VAR预测的区别在于VECM允许有单位根和协整关系,
VAR预测不允许有单位根。
25.5.7 Johansen方法进行协整检验的例子
R扩展包urca的ca.jo()
函数可以进行计算Johansen的两种检验。
参见(Pfaff 2008)。
例4.2
考虑urca包的UKpppuip数据,
此数据用来检验英国经济的PPP和UIP假设。
季度数据,从1971年第1季度到1987年第2季度。
分量p1是英国批发价格指数,
p2是外贸加权批发价格指数,
e12是英镑实际汇率,
i1是三月期国债利率,
i2是三月期欧元利率,
dpoil0是即期国际油价,
dpoil1是上期国际油价。
载入数据:
library(urca, quietly = TRUE)
data(UKpppuip)
ts.UKpppuip <- ts(UKpppuip, start=c(1971,1), frequency=4)
数据表见附录。
时间序列图:
library(quantmod, quietly = TRUE)
plot(as.xts(ts.UKpppuip), type="l",
multi.panel=TRUE, theme="white",
main="英国PPP-UIP数据",
major.ticks="years",
grid.ticks.on = "years")
![英国PPP-UIP数据](http://182.92.67.96/wp-content/uploads/2022/06/lazy.png)
图25.2: 英国PPP-UIP数据
下面对p1, p2, e12, i1, i2执行Johansen的两种协整检验。
ADF结果表明部分序列有单位根。
以油价作为外生变量。
选项type="trace"
使用LRtr统计量,
选项type="eigen"
使用LRmax统计量。
选项ecdet
指定要考虑的非随机趋势,"none"
表示没有非随机趋势,"constant"
表示常数趋势,"trend"
表示线性趋势。
选项K
表示VAR模型的阶。
选项season=4
表示有与季度数据相关联的哑变量存在,
用dumvar=
输入保存了哑变量(外生变量)的数据框,
其行数必须与用来检验的输入数据行数相同。
dat1 <- UKpppuip[,c("p1", "p2", "e12", "i1", "i2")]
dat2 <- UKpppuip[,c("doilp0", "doilp1")]
summary(ca.jo(
dat1, type="trace", K=2, season=4, dumvar=dat2))
##
## ######################
## # Johansen-Procedure #
## ######################
##
## Test type: trace statistic , with linear trend
##
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 0.40672818 0.28538240 0.25415335 0.10230406 0.08287097
##
## Values of teststatistic and critical values of test:
##
## test 10pct 5pct 1pct
## r <= 4 | 5.19 6.50 8.18 11.65
## r <= 3 | 11.67 15.66 17.95 23.52
## r <= 2 | 29.26 28.71 31.52 37.22
## r <= 1 | 49.42 45.23 48.28 55.43
## r = 0 | 80.75 66.49 70.60 78.87
##
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
##
## p1.l2 p2.l2 e12.l2 i1.l2 i2.l2
## p1.l2 1.0000000 1.000000 1.000000 1.0000000 1.0000000
## p2.l2 -0.9086265 -1.143047 -1.272628 -2.4001444 -1.4528820
## e12.l2 -0.9321133 -3.363042 1.113631 1.1221619 -0.4805235
## i1.l2 -3.3746393 35.243576 2.746828 -0.4088865 2.2775510
## i2.l2 -1.8906210 -32.917370 -2.835714 2.9863624 0.7628011
##
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
##
## p1.l2 p2.l2 e12.l2 i1.l2 i2.l2
## p1.d -0.06816507 0.0011795779 -0.002790218 0.001373599 -0.01333013
## p2.d -0.01773477 0.0001220008 -0.014159241 0.013178503 0.00755575
## e12.d 0.10065321 -0.0001432122 -0.055628059 -0.035400025 -0.04707585
## i1.d 0.03434737 -0.0041631581 -0.010363374 0.012309982 -0.02394672
## i2.d 0.05766426 0.0082830953 0.004821036 0.026984801 -0.01006765
summary(ca.jo(
dat1, type="eigen", K=2, season=4, dumvar=dat2))
##
## ######################
## # Johansen-Procedure #
## ######################
##
## Test type: maximal eigenvalue statistic (lambda max) , with linear trend
##
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 0.40672818 0.28538240 0.25415335 0.10230406 0.08287097
##
## Values of teststatistic and critical values of test:
##
## test 10pct 5pct 1pct
## r <= 4 | 5.19 6.50 8.18 11.65
## r <= 3 | 6.48 12.91 14.90 19.19
## r <= 2 | 17.59 18.90 21.07 25.75
## r <= 1 | 20.16 24.78 27.14 32.14
## r = 0 | 31.33 30.84 33.32 38.78
##
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
##
## p1.l2 p2.l2 e12.l2 i1.l2 i2.l2
## p1.l2 1.0000000 1.000000 1.000000 1.0000000 1.0000000
## p2.l2 -0.9086265 -1.143047 -1.272628 -2.4001444 -1.4528820
## e12.l2 -0.9321133 -3.363042 1.113631 1.1221619 -0.4805235
## i1.l2 -3.3746393 35.243576 2.746828 -0.4088865 2.2775510
## i2.l2 -1.8906210 -32.917370 -2.835714 2.9863624 0.7628011
##
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
##
## p1.l2 p2.l2 e12.l2 i1.l2 i2.l2
## p1.d -0.06816507 0.0011795779 -0.002790218 0.001373599 -0.01333013
## p2.d -0.01773477 0.0001220008 -0.014159241 0.013178503 0.00755575
## e12.d 0.10065321 -0.0001432122 -0.055628059 -0.035400025 -0.04707585
## i1.d 0.03434737 -0.0041631581 -0.010363374 0.012309982 -0.02394672
## i2.d 0.05766426 0.0082830953 0.004821036 0.026984801 -0.01006765
Johansen检验是序贯进行的。
从迹方法的检验结果看出,
在0.05水平下,
H0:r=0(这里r就是前面的m,Π的秩)
统计量为80.75,右侧临界值是70.60,拒绝零假设,
至少有一个协整关系;
H0:r=1的检验统计量为49.42,
右侧临界值为48.28,
拒绝零假设,认为至少有两个协整关系;
H0:r=2的检验统计量为29.26,
右侧临界值为31.52,
不拒绝零假设,
认为恰好有两个协整关系。
如果使用最大特征值方法,
检验结论则有所不同。
结果中包含了所有的协整变量,
前两个协整变量为
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜p1p2e12i1i21−0.91−0.93−3.37−1.891−1.14−3.3635.2432.91⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟
人为地计算两个协整变量,
检验其平稳性:
dat1 <- UKpppuip[,c("p1", "p2", "e12", "i1", "i2")]
f <- function(){
x1 <- as.matrix(dat1) %*% c(1, -0.91, -0.93, -3.37, -1.89)
x2 <- as.matrix(dat1) %*% c(1, -1.14, -3.36, -35.24, -32.91)
print(fUnitRoots::adfTest(x1, lags=1, type="c"))
print(fUnitRoots::adfTest(x2, lags=1, type="c"))
invisible()
}
f()
## Warning in if (class(x) == "timeSeries") x = series(x): 条件的长度大于一,因此只
## 能用其第一元素
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -2.5995
## P VALUE:
## 0.0994
##
## Description:
## Tue Feb 22 12:01:46 2022 by user: Lenovo
## Warning in if (class(x) == "timeSeries") x = series(x): 条件的长度大于一,因此只
## 能用其第一元素
##
## Title:
## Augmented Dickey-Fuller Test
##
## Test Results:
## PARAMETER:
## Lag Order: 1
## STATISTIC:
## Dickey-Fuller: -3.0532
## P VALUE:
## 0.03853
##
## Description:
## Tue Feb 22 12:01:46 2022 by user: Lenovo
在0.05水平下,
第一个协整向量有单位根,
第二个协整向量没有单位根。
但是,因为估计这些权重消耗了自由度,
所以ADF检验的p值是不可用的。
25.6 附录A:线性模型估计相合性
考虑线性回归模型
yi=β1xi1+β2xi2+⋯+βpxip+ei, i=1,2,…
其中Eei=0, Var(ei)=σ2,
e1,e2,…为不相关列。
对n组观测值,写成线性模型
Yn=Xnβ+En,
其中Yn=(y1,…,yn)T,
En=(e1,…,en)T,
βn=(β1,…,βp)T,
Xn为n×p矩阵,
第(i,j)元素为xij。
如果Xn列满秩,
最小二乘估计为
β̂ n=(XTnXn)−1XTnYn.
定理25.1 (最小二乘估计的弱相合性) 记Sn=XTnXn,
设n充分大时Xn列满秩,
则β̂ n是β的弱相合估计,
当且仅当limn→∞S−1n=0。
充分性是Eβ̂ n=β
以及Var(β̂ n)=σ2S−1n的推论。
事实上,
E∥β̂ n−β∥2=σ2tr(S−1n)→0, n→∞.
必要性的证明见陈希孺《数理统计引论》节5.6。
定理25.2 (最小二乘估计的强相合性) 若e1,e2,… 独立同N(0, σ2)分布,
limn→∞S−1n→0,
则β̂ n是β的强相合估计。
25.7 附录B:用到的数据
25.7.1 英国消费研究数据
lc | li | lw | dd682 | dd792 | dd883 | |
---|---|---|---|---|---|---|
1966.4 | 10.4831 | 10.5821 | 12.9481 | NA | NA | NA |
1967.1 | 10.4893 | 10.5800 | 12.9895 | 0 | 0 | 0 |
1967.2 | 10.5022 | 10.5990 | 13.0115 | 0 | 0 | 0 |
1967.3 | 10.5240 | 10.6262 | 13.0411 | 0 | 0 | 0 |
1967.4 | 10.5329 | 10.6145 | 13.0357 | 0 | 0 | 0 |
1968.1 | 10.5586 | 10.6307 | 13.0518 | 0 | 0 | 0 |
1968.2 | 10.5190 | 10.6316 | 13.0839 | 1 | 0 | 0 |
1968.3 | 10.5381 | 10.6132 | 13.1120 | -1 | 0 | 0 |
1968.4 | 10.5422 | 10.6141 | 13.1183 | 0 | 0 | 0 |
1969.1 | 10.5361 | 10.6263 | 13.1144 | 0 | 0 | 0 |
1969.2 | 10.5462 | 10.6366 | 13.1009 | 0 | 0 | 0 |
1969.3 | 10.5459 | 10.6313 | 13.0882 | 0 | 0 | 0 |
1969.4 | 10.5552 | 10.6324 | 13.0402 | 0 | 0 | 0 |
1970.1 | 10.5548 | 10.6361 | 13.0391 | 0 | 0 | 0 |
1970.2 | 10.5710 | 10.6795 | 13.0417 | 0 | 0 | 0 |
1970.3 | 10.5861 | 10.6813 | 13.0261 | 0 | 0 | 0 |
1970.4 | 10.5864 | 10.6801 | 13.0032 | 0 | 0 | 0 |
1971.1 | 10.5802 | 10.6533 | 13.0364 | 0 | 0 | 0 |
1971.2 | 10.6006 | 10.6839 | 13.0461 | 0 | 0 | 0 |
1971.3 | 10.6168 | 10.6889 | 13.0850 | 0 | 0 | 0 |
1971.4 | 10.6275 | 10.7025 | 13.1107 | 0 | 0 | 0 |
1972.1 | 10.6414 | 10.7212 | 13.1241 | 0 | 0 | 0 |
1972.2 | 10.6629 | 10.7818 | 13.1605 | 0 | 0 | 0 |
1972.3 | 10.6758 | 10.7641 | 13.1748 | 0 | 0 | 0 |
1972.4 | 10.6881 | 10.7841 | 13.1612 | 0 | 0 | 0 |
1973.1 | 10.7240 | 10.8045 | 13.1050 | 0 | 0 | 0 |
1973.2 | 10.7143 | 10.8230 | 13.1082 | 0 | 0 | 0 |
1973.3 | 10.7222 | 10.8319 | 13.1059 | 0 | 0 | 0 |
1973.4 | 10.7156 | 10.8380 | 13.0140 | 0 | 0 | 0 |
1974.1 | 10.6964 | 10.8097 | 12.9301 | 0 | 0 | 0 |
1974.2 | 10.6990 | 10.7928 | 12.8427 | 0 | 0 | 0 |
1974.3 | 10.7081 | 10.8310 | 12.7710 | 0 | 0 | 0 |
1974.4 | 10.7142 | 10.8328 | 12.7281 | 0 | 0 | 0 |
1975.1 | 10.7078 | 10.8527 | 12.7692 | 0 | 0 | 0 |
1975.2 | 10.7073 | 10.8089 | 12.7492 | 0 | 0 | 0 |
1975.3 | 10.6954 | 10.8202 | 12.7664 | 0 | 0 | 0 |
1975.4 | 10.6910 | 10.8069 | 12.7554 | 0 | 0 | 0 |
1976.1 | 10.6967 | 10.8196 | 12.7605 | 0 | 0 | 0 |
1976.2 | 10.7015 | 10.8046 | 12.7471 | 0 | 0 | 0 |
1976.3 | 10.7083 | 10.8372 | 12.7238 | 0 | 0 | 0 |
1976.4 | 10.7127 | 10.8123 | 12.7156 | 0 | 0 | 0 |
1977.1 | 10.6922 | 10.7842 | 12.7555 | 0 | 0 | 0 |
1977.2 | 10.6874 | 10.7713 | 12.7517 | 0 | 0 | 0 |
1977.3 | 10.6989 | 10.7904 | 12.8018 | 0 | 0 | 0 |
1977.4 | 10.7224 | 10.8369 | 12.8388 | 0 | 0 | 0 |
1978.1 | 10.7452 | 10.8333 | 12.8438 | 0 | 0 | 0 |
1978.2 | 10.7462 | 10.8635 | 12.8540 | 0 | 0 | 0 |
1978.3 | 10.7663 | 10.8884 | 12.8618 | 0 | 0 | 0 |
1978.4 | 10.7633 | 10.8924 | 12.8491 | 0 | 0 | 0 |
1979.1 | 10.7737 | 10.9017 | 12.9232 | 0 | 0 | 0 |
1979.2 | 10.8282 | 10.9108 | 12.9022 | 0 | 1 | 0 |
1979.3 | 10.7872 | 10.9166 | 12.8737 | 0 | -1 | 0 |
1979.4 | 10.8015 | 10.9673 | 12.8467 | 0 | 0 | 0 |
1980.1 | 10.8139 | 10.9324 | 12.8647 | 0 | 0 | 0 |
1980.2 | 10.7909 | 10.9344 | 12.8885 | 0 | 0 | 0 |
1980.3 | 10.8029 | 10.9506 | 12.9183 | 0 | 0 | 0 |
1980.4 | 10.7868 | 10.9465 | 12.9277 | 0 | 0 | 0 |
1981.1 | 10.7979 | 10.9488 | 12.9505 | 0 | 0 | 0 |
1981.2 | 10.8007 | 10.9294 | 12.9615 | 0 | 0 | 0 |
1981.3 | 10.8008 | 10.9248 | 12.9147 | 0 | 0 | 0 |
1981.4 | 10.7991 | 10.9326 | 12.9527 | 0 | 0 | 0 |
1982.1 | 10.7956 | 10.9202 | 12.9641 | 0 | 0 | 0 |
1982.2 | 10.8005 | 10.9373 | 12.9780 | 0 | 0 | 0 |
1982.3 | 10.8160 | 10.9269 | 13.0299 | 0 | 0 | 0 |
1982.4 | 10.8260 | 10.9315 | 13.0604 | 0 | 0 | 0 |
1983.1 | 10.8405 | 10.9399 | 13.1031 | 0 | 0 | 0 |
1983.2 | 10.8482 | 10.9599 | 13.1577 | 0 | 0 | 0 |
1983.3 | 10.8633 | 10.9563 | 13.1504 | 0 | 0 | 0 |
1983.4 | 10.8633 | 10.9637 | 13.1805 | 0 | 0 | 0 |
1984.1 | 10.8615 | 10.9703 | 13.2245 | 0 | 0 | 0 |
1984.2 | 10.8732 | 10.9778 | 13.1852 | 0 | 0 | 0 |
1984.3 | 10.8649 | 10.9801 | 13.2298 | 0 | 0 | 0 |
1984.4 | 10.8793 | 10.9942 | 13.2849 | 0 | 0 | 0 |
1985.1 | 10.8909 | 10.9840 | 13.2999 | 0 | 0 | 0 |
1985.2 | 10.8938 | 11.0120 | 13.2904 | 0 | 0 | 0 |
1985.3 | 10.9116 | 11.0120 | 13.3140 | 0 | 0 | 0 |
1985.4 | 10.9202 | 11.0237 | 13.3606 | 0 | 0 | 0 |
1986.1 | 10.9409 | 11.0300 | 13.4574 | 0 | 0 | 0 |
1986.2 | 10.9663 | 11.0624 | 13.4655 | 0 | 0 | 0 |
1986.3 | 10.9700 | 11.0556 | 13.4371 | 0 | 0 | 0 |
1986.4 | 10.9808 | 11.0644 | 13.5020 | 0 | 0 | 0 |
1987.1 | 10.9878 | 11.0618 | 13.5914 | 0 | 0 | 0 |
1987.2 | 11.0048 | 11.0839 | 13.6804 | 0 | 0 | 0 |
1987.3 | 11.0272 | 11.0944 | 13.7131 | 0 | 0 | 0 |
1987.4 | 11.0420 | 11.1095 | 13.5633 | 0 | 0 | 0 |
1988.1 | 11.0701 | 11.1116 | 13.5814 | 0 | 0 | 0 |
1988.2 | 11.0751 | 11.1413 | 13.6171 | 0 | 0 | 0 |
1988.3 | 11.0964 | 11.1507 | 13.6201 | 0 | 0 | 1 |
1988.4 | 11.1069 | 11.1680 | 13.6460 | 0 | 0 | 1 |
1989.1 | 11.1123 | 11.1713 | 13.6731 | 0 | 0 | 1 |
1989.2 | 11.1231 | 11.2032 | 13.6884 | 0 | 0 | 1 |
1989.3 | 11.1223 | 11.2009 | 13.7211 | 0 | 0 | 1 |
1989.4 | 11.1303 | 11.2064 | 13.7686 | 0 | 0 | 1 |
1990.1 | 11.1307 | 11.2160 | 13.6833 | 0 | 0 | 1 |
1990.2 | 11.1389 | 11.2147 | 13.7130 | 0 | 0 | 1 |
1990.3 | 11.1325 | 11.2286 | 13.6225 | 0 | 0 | 1 |
1990.4 | 11.1261 | 11.2352 | 13.6957 | 0 | 0 | 1 |
1991.1 | 11.1232 | 11.2189 | 13.7723 | 0 | 0 | 1 |
1991.2 | 11.1220 | 11.2276 | 13.7424 | 0 | 0 | 1 |
25.7.2 英国PPP研究数据
p1 | p2 | e12 | i1 | i2 | doilp0 | doilp1 |
---|---|---|---|---|---|---|
3.399837 | 3.846749 | -4.899593 | 0.0470744 | 0.0505981 | 0.0000000 | 0.0000000 |
3.412952 | 3.856261 | -4.894152 | 0.0467882 | 0.0485997 | 0.0066867 | 0.0000000 |
3.430709 | 3.864228 | -4.832260 | 0.0598714 | 0.0554347 | 0.0000000 | 0.0066867 |
3.452861 | 3.881285 | -4.803663 | 0.0725067 | 0.0580802 | 0.0022137 | 0.0000000 |
3.465303 | 3.913175 | -4.785582 | 0.0789036 | 0.0762200 | 0.1020269 | 0.0022137 |
3.469929 | 3.953242 | -4.785582 | 0.0714831 | 0.0829615 | 0.1327823 | 0.1020269 |
3.503215 | 3.997386 | -4.723762 | 0.1065198 | 0.1058904 | 0.1395371 | 0.1327823 |
3.542607 | 4.020950 | -4.712609 | 0.1152019 | 0.0948555 | 0.2369103 | 0.1395371 |
3.615693 | 4.130217 | -4.719131 | 0.1160927 | 0.0877361 | 0.9655383 | 0.2369103 |
3.683799 | 4.172550 | -4.733877 | 0.1101092 | 0.1165378 | 0.0434339 | 0.9655383 |
3.722781 | 4.207048 | -4.730211 | 0.1084956 | 0.1242510 | 0.0195273 | 0.0434339 |
3.772879 | 4.236469 | -4.713544 | 0.1066996 | 0.0977617 | 0.0553805 | 0.0195273 |
3.835640 | 4.253006 | -4.694693 | 0.0960372 | 0.0698991 | 0.0063868 | 0.0553805 |
3.885598 | 4.270279 | -4.662791 | 0.0917584 | 0.0633503 | 0.0000000 | 0.0063868 |
3.920515 | 4.271766 | -4.619633 | 0.1017440 | 0.0719485 | 0.0000000 | 0.0000000 |
3.956147 | 4.285636 | -4.594710 | 0.1072388 | 0.0637257 | 0.0957119 | 0.0000000 |
3.998746 | 4.295829 | -4.583076 | 0.0859024 | 0.0538251 | 0.0000000 | 0.0957119 |
4.036117 | 4.320907 | -4.497610 | 0.1038193 | 0.0587405 | 0.0000000 | 0.0000000 |
4.076345 | 4.340277 | -4.471787 | 0.1108256 | 0.0558131 | 0.0000000 | 0.0000000 |
4.125455 | 4.358491 | -4.397771 | 0.1354046 | 0.0509782 | 0.0000000 | 0.0000000 |
4.185891 | 4.362472 | -4.431758 | 0.1035489 | 0.0511683 | 0.0491579 | 0.0000000 |
4.234323 | 4.374696 | -4.429279 | 0.0732505 | 0.0560022 | 0.0000000 | 0.0491579 |
4.263965 | 4.389198 | -4.431758 | 0.0624113 | 0.0628809 | 0.0492205 | 0.0000000 |
4.277778 | 4.401695 | -4.453790 | 0.0565694 | 0.0685928 | 0.0000000 | 0.0492205 |
4.283250 | 4.419375 | -4.480076 | 0.0580802 | 0.0720416 | 0.0000000 | 0.0000000 |
4.302169 | 4.441176 | -4.420557 | 0.0809346 | 0.0748291 | 0.0000000 | 0.0000000 |
4.321394 | 4.454597 | -4.429279 | 0.0884686 | 0.0859942 | 0.0000000 | 0.0000000 |
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