数值计算

概率论例子 取帽子问题 问题介绍与推导 设 n个人都戴了帽子参加聚会，聚会时摘下帽子弄乱了，散会时随机抽取一顶。问：所有人都没有取到自己的帽子的概率是多少？ 令 Ai表示第 i个人取对自己的帽子，要求概率的事件为 B=⋂i=1nAic. 由概率论的Jordan公式, P(B)=1−P(Bc)=1−P(⋃i=1nAi)=1−[∑iP(Ai)−∑i<jP(…

动态规划(dynamic programming)不完全是数学规划（最优化）问题的算法。它能解决如下问题：问题可以分解为子问题，子问题多次重复出现，就可以将已经出现的子问题记住，从而大大减小计算量。 Fibonacci数列 Fibonacci数列满足 F0=F1=1， Fn=Fn−1+Fn−2， n=2,3,…。 显然，可以写成简单的递归函数： functi…

词典中单词的练习 二分法查词 设dict是一个字符串数组，包含了许多单词，按字典序排列。为了检查字符串word是否在dict中，可以用word in dict的写法，但是这样会进行线性搜索，效率较低。因为词典dict是按升序排序的，可以用二分法搜索。程序如下： function indict(dict, word) a = 1 b = length(dict…

23.1 汉诺塔问题 设有三根柱子A, B, C，有大小依次为1,2,…,𝑛的𝑛个空心圆盘，在A柱子上依次从低向上穿了𝑛,𝑛−1,…,1大小的圆盘。任务是要把这𝑛个圆盘移动到C柱子上，仍按照从低向上越来越小的次序。移动的要求为： 每次仅移动一个圆盘到另一个柱子上； 每次的移动，都不能使得增加一个圆盘的柱子上的大圆盘压在小圆盘上。 这个问题是典型的递归问题： …

在Julia中用Int64保存整数，如果需要许多位的整数就用BigInt类型。 从整数值拆分各个数字 编写一个函数，从一个正整数如12345，拆分成各个数字的数组[1,2,3,4,5]。 输入: n: 要拆分的值。 base: n的进制。 ndigits: 输出的位数，不足时在左边添加0，超过时出错。 function todigits(n, base = …

用迭代计算平方根 求某个正数 x的平方根，相当于求解方程 f(u)=u2−x=0。利用一阶泰勒展开式 f(u)=f(u0)+f′(u0)(u−u0)+o(u−u0)，其中 f′(u)=2u，令 f(u)=0得 u≈u0−f(u0)f′(u0)， 将其作为迭代公式 un=un−1−f(un−1)f′(un−1)=un−1−un−12−x2un−1=12(un−…

介绍 Julia语言没有内建作图能力，作图需要通过扩展包提供，因为Julia语言的历史还比较短，现在有多种作图用的扩展包但是没有一个占绝对优势的包。比较常用的有Gadfly, Plots, PyPlot包。Julia还在快速发展阶段，功能的兼容性不够稳定，作图功能尤其如此。本文演示Gadfly包作图。 本文作者先安装了Anaconda3，然后安装Julia1…

Julia的语言特点 Julia语言是一种历史很短的计算机语言，公开发布于2012年。其设计理念就是希望兼有Python、R、Matlab这样的动态语言的易用性，以及C、C++、Java这样的静态语言的运行速度。所以Julia很适合用来做统计和金融计算。 Julia语言的特点有： 动态语言； 使用基于LLVM的动态编译技术，可以动态生成高效的运行代码； 不需…

介绍 在用数学模型， 包括概率统计模型处理实际应用中的问题时，我们希望建立的模型能够尽可能地符合实际情况。但是，实际情况是错综复杂的， 如果一味地要求模型与实际完全相符，会导致模型过于复杂， 以至于不能进行严格理论分析，结果导致模型不能使用。所以，实际建模时会忽略许多细节， 增加一些可能很难验证的理论假设，使得模型比较简单，可以用数学理论进行分析研究。 这样…

这一部分介绍如何靠自己编写Julia程序进行定制化的统计计算。从自己编写程序作统计计算的角度简单介绍Julia中与统计计算编程有关的功能，如向量、矩阵计算，最优化，随机模拟，并行计算等。 Julia比较适合用作数值计算，编程既有Python、R、Matlab这样的语言的简洁，又有C++这样的编译语言的运行效率。统计数据分析、作图需要用到许多复杂的算法，有些算…

这一部分介绍描述统计、估计、置信区间、假设检验和一些模型。 参考： McNicholas and Tait(2019) Data Science Using Julia, CRC Press. Jose Storopoli, Rik Huijzer, Lazaro Alonso(2022) Julia Data Science. https://cn.jul…

这一部分介绍用Julia的Makie包作图方法。 参考： Jose Storopoli, Rik Huijzer, Lazaro Alonso(2022) Julia Data Science. https://cn.julialang.org/JuliaDataScience/ Makie: https://makie.juliaplots.org/sta…

介绍 Julia程序语言是一种计算机编程语言，就像C、C++、Fortran、Java、R、Python、Matlab等程序语言一样。Julia语言历史比较短，发布于2012年，是MIT的几位作者（Jeff Bezanson, Stefan Karpinski, Viral Shah, Alan Edelman）和全世界的参与者共同制作的。主网站在https…