北大讲义

介绍 前面已经在VAR部分简单介绍了格兰格因果性的概念，以及用VAR模型检验格兰格因果性的方法。这里对格兰格因果性的概念与检验方法进行更详细的阐述。这一章的内容主要参考(Gebhard Kirchgässner 2013)，(C. W. J. Granger 1969)。 考虑两个时间序列之间的因果性。这里的因果性指的是时间顺序上的关系，如果Xt−1,Xt−…

25.1 虚假回归问题 线性回归分析是统计学的最常用的模型之一，但是，如果回归的自变量和因变量都是时间序列，回归就不满足回归分析的基本假定：模型误差项独立同分布。 比如，一元线性回归模型 yt=a+bxt+et, t=1,2,…,n, 需要假定e1,e2,…,et不相关，零均值，方差同为σ2，x1,x2,…,xn非随机，这时最小二乘估计是无偏估计。 当lim…

24.1 VAR(1)模型 多个资产收益率的联合模型中最常用的是向量自回归(Vector Autoregression, VAR)模型。称k元时间序列rt服从一个一阶向量自回归模型，即VAR(1)，若有 rt=ϕ0+Φrt−1+at(24.1) 其中ϕ0是k维常数向量，Φ是k阶常数方阵，{at}是序列不相关的弱平稳列，Eat=0,Var(at)=Σ…

经济的全球一体化和信息传播的发展使得各国的金融市场相互关联，一个市场的价格变动可以很快地扩散到另一个市场。持有多个资产的投资者也希望了解多个资产的收益率之间的关系。这些问题属于多元时间序列分析的范畴。 多元时间序列包含多个一元时间序列作为分量，各个一元时间序列的采样时间点相同，所以数据可以用矩阵形式表示，每行为一个时间点，每列为一个一元时间序列。在R中可以保…

下面研究GARCH模型导致的波动率期限结构，比如，日对数收益率的波动率与月对数收益率的波动率的关系。以时间t为基础，距离t时刻h期（比如h个交易日）的对数收益率为 rt,h=∑i=1hrt+i 于是 E(rt,h|Ft)=∑i=1hE(rt+i|Ft) h期的条件方差，即波动率平方为 Var(rt,h|Ft)=∑i=1hVar(rt+i|Ft)+∑1≤i&l…

本章内容来自自(Tsay 2013)§4.15和§4.16内容。 (French, Schwert, and Stambaugh 1987)用高频数据计算低频收益率的波动率，又可参见(Andersen et al. 2001)和(Andersen et al. 2001)。 假设我们对某资产的月波动率感兴趣，有该资产的日收益率数据，设rmt是该资产第t个月的…

本章内容来自自(Tsay 2013)§4.13和§4.14内容。 前面的波动率方程中σ2t=Var(at|Ft−1)都是被σt−1,…和at−1,…完全决定。另一种方法是假定σ2t的模型本身有新息，这样的模型称为随机波动率(Stochastic Volatility, SV)模型。模型写成 at=σtεt,(1−α1B−⋯−αmBm)lnσ2t=α0+vt.…

本章讲GARCH模型的一些有针对性的改进。来自(Tsay 2013)§4.9-4.11内容。 EGARCH模型 模型 (Nelson 1991)提出的指数GARCH(EGARCH)模型允许正负资产收益率对波动率有不对称的影响。考虑如下变换 g(εt)=αεt+γ[|εt|−E|εt|],(19.1) 其中α和γ是实常数。{εt}和{|εt|−E|εt|}都分…

本章来自(Tsay 2013)§4.6-4.8内容。 ARCH模型用来描述波动率能得到很好的效果，但实际建模时可能需要较高的阶数，比如§17.5.3的欧元汇率波动率建模用了11阶的ARCH模型。考虑类似从AR推广到ARMA的模型变化。 模型方程 (Bollerslev 1986)提出了ARCH模型的一种重要推广模型，称为GARCH模型。对于一个对数收益率序列…

这是原书(Tsay 2013)§4.5内容。 ARCH模型公式 (R. F. Engle 1982) 提出了ARCH模型（自回归条件异方差模型），这是对将波动率定义为条件标准差，第一次提出的波动率的理论模型。基本思想是： 资产收益率的扰动序列at=rt−E(rt|Ft−1)是前后不相关的， 但是前后不独立。 at的不独立性， 描述为Var(rt|Ft−1)=…

金融数据中最关心的除了资产价格、收益率，就是资产波动率。资产波动率度量某项资产的风险，有多种定义。本章： 理解波动率特点； 学习ARCH、GARCH等波动率模型； 学习如何对波动率建模，如何应用波动率模型。 波动率是期权定价和资产分配的关键因素。波动率对计算风险管理中的VaR（风险值）有重要作用。一些波动率指数已经成为金融工具，如CBOE(Chicargo …

失业率是每个国家、地区经济运行的重要指标。2011年，美国的季节调整后的月度失业率在9%左右。 本章对美国月失业率数据进行建模和预测，使用不带解释变量和带解释变量的两种方法，解释变量是周首次申请失业救济金人数信息。 数据来自Department of Labor, US Beareau of Labor Statistics。数据经过了季节调整。失业率为百分…

用时间序列方法对全球温度异常建模，目的不是证明全球变暖，而是： 演示线性时间序列模型的建模和预测方法； 比较不同的模型； 了解时间序列模型长期预测的局限性； 理解仅根据数据区分非随机趋势与单位根非平稳的困难。 全球温度异常值的数据来源有： GISS, Goddard Institute for Space Studies 隶属于 NASA(National …

这一章用三个实例来详细讲解如何用R语言和线性时间序列模型分析实际数据，并展现线性时间序列模型的适用性与局限性。 数据为： 1997-01-06到2010-09-27的美国普通汽油价格周数据； 1880年1月到2010年8月全球温度异常值的月度数据； 美国失业率月度数据，包括首次申领失业救济金人数的序列以及不包括的序列。 这些数据是持续更新的，也反映了全球或美…

在实际金融事件序列数据的建模中，注意不存在所谓“正确的模型”，只能是从多个比较适合的模型中选择最合适的一个，或者将比较适合的多个模型的预测结果进行平均。 为了比较模型，有样本内比较和样本外比较两种方法。 样本内比较 如果建模目的是获得描述数据内在运动规律的参数模型，可以用样本内比较，利用全部数据建模，并比较不同模型的某个优良性指标，如AIC、BIC、新息方差…

长记忆模型介绍 ACF是时间序列建模的重要参考。对于ARMA序列，当滞后k→∞时其样本ACF是负指数速度趋于零的。对于单位根非平稳列，其理论ACF无定义（因为自协方差是针对弱平稳列定义的），其样本ACF在样本量T→∞时每个ρ̂ k都趋于1（k>0）。 有一些平稳时间序列的ACF虽然也随滞后k→∞趋于零，但是收敛到零的速度比较慢，只有负幂次k−…

10.1 方法示例 在统计学的数据分析中，线性回归分析是最常用的分析工具之一。线性回归以一元线性回归为例，模型如下 Yt=β0+β1Xt+et, t=1,2,…,T(10.1) 其中自变量{Xt}为常数列，β0,β1为未知的系数，{et}为零均值独立同分布随机误差序列，方差为σ2e，因变量{Yt}为随机变量列。参数β0,β1,σ2e可以用最小二乘法估计，估计…

经济和金融中的月度、季度数据一般有明显的周期，日数据也会有按照周、月、年周期的变化。这样的性质称为季节性，含有周期变化的时间序列称为季节时间序列。 如：可口可乐公司1983第1季度到2009第3季度公布的季度盈利数据。每个季度的盈利数据在季度结束后约一个月以后公布。共107个观测。考虑季度盈利的对数值。 da <- read_table( “q-ko-…

简单指数平滑 指数平滑最早是来自一种简单的预测方法：用历史数据的线性组合预测下一时间点的值，线性组合系数随距离变远而按负指数（几何级数）衰减： x̂ h(1)≈wxh+w2xh−1+⋯=∑j=1∞wjxh+1−j 其中0<w<1，w越小，距离远的历史观测对预测的贡献越小。 因为是加权平均，所以所有加权的和应该等于零，注意到 ∑j=1∞wj=w1−…

前面的AR、MA、ARMA主要应用于简单收益率和对数收益率。对于价格序列，一般其水平是缓慢变化的，包括缓慢的增长趋势与一定的周期波动。这样的序列不满足弱平稳的条件，是非平稳时间序列。 典型的非平稳时间序列模型是单位根(unit root)非平稳时间序列。 随机游动 考虑{pt}的模型 pt=pt−1+εt, t=1,2,…(7.1) 其中{εt}是零均值独立…

ARMA模型的概念 AR模型有偏自相关函数截尾性质；MA模型有相关函数截尾性质。有些因果线性时间序列有与AR和MA类似的表现，但是不能在低阶实现偏自相关函数截尾或者相关函数截尾。 ARMA模型结合了AR和MA模型，在对数据拟合优度相近的情况下往往可以得到更简单的模型，而且不要求偏自相关函数截尾也不要求相关函数截尾。 ARMA(1,1)模型为 Xt=ϕ0+ϕ1…

移动平均模型的概念 移动平均模型是具有q步外不相关性质的平稳列的模型；对于高阶的AR模型，有些可以用低阶的MA模型更好地描述。一般的AR模型也可以用高阶MA模型近似。 理论上，AR模型也可以是无穷阶的： Xt=ϕ0+∑j=1∞ϕjXt−j+εt 其中{ϕj}应绝对可和。一个特例为 Xt=ϕ0−∑j=1∞(−θ1)jXt−j+εt 其中0<|θ|<…

李东升著 北京大学金融数学讲义 金融数据中最关心的除了资产价格、收益率，就是资产波动率。资产波动率度量某项资产的风险，有多种定义。本章： 理解波动率特点； 学习ARCH、GARCH等波动率模型； 学习如何对波动率建模，如何应用波动率模型。 波动率是期权定价和资产分配的关键因素。波动率对计算风险管理中的VaR（风险值）有重要作用。一些波动率指数已经成为金融工具…