北京大学金融时间序列分析讲义第8章： 指数平滑

简单指数平滑

指数平滑最早是来自一种简单的预测方法：
用历史数据的线性组合预测下一时间点的值，
线性组合系数随距离变远而按负指数（几何级数）衰减：

x̂ h(1)≈wxh+w2xh−1+⋯=∑j=1∞wjxh+1−j

其中0<w<1，
w越小，
距离远的历史观测对预测的贡献越小。

因为是加权平均，
所以所有加权的和应该等于零，
注意到

∑j=1∞wj=w1−w

所以第j个权重应为

wjw1−w=(1−w)wj−1, j=1,2,…

于是

x̂ h(1)=(1−w)(xh+wxh−1+w2xh−2+…)=(1−w)∑j=0∞wjxh−j

这种预测方法叫做指数平滑方法(exponential smoothing method)，
在早期应用中权重w是凭经验选取的。

经研究，
ARIMA(0,1,1)的x̂ h(1)的公式恰好具有如上形式。
对如下的ARIMA(0,1,1)模型：

(1−B)Xt=(1−θB)εt

两边除以1−θB，由于

11−θz=∑j=0∞θjzj

所以模型可以化为

(1−B)∑j=0∞θjXt−j=εt∑j=0∞θjXt−j−∑j=0∞θjXt−j−1=εtXt+∑j=1∞θjXt−j−∑j=1∞θj−1Xt−j=εtXt−(1−θ)∑j=1∞θj−1Xt−j=εtXt−(1−θ)∑j=0∞θjXt−1−j=εt

以t=h+1代入得

Xh+1=(1−θ)∑j=0∞θjXh−j+εh+1

于是

x̂ h(1)=E(Xh+1|ℱh)=(1−θ)∑j=0∞θjXh−j

这就是w=θ的指数平滑预测公式。

因为指数平滑预测与ARIMA(0,1,1)预测的等价性，
可以用ARIMA建模方法估计权重w。
注意arima()函数估计的MA系数是1+θ1z+⋯+θqzq形式的系数。
也可以用ARIMA模型的充分性检验来判断指数平滑预测是否有意义。

例8.1 考虑CBOE的波动率指数（VIX）2004-01-02到2011-11-21的日收盘价的对数序列，
用指数平滑方法作一步预测。
共1988个观测。

读入数据，从中计算日收盘价对数值序列：

da <- read_table("d-vix0411.txt", col_types=cols(.default = col_double()))
xts.vix <- xts(da[,-(1:3)], make_date(da$year, da$mon, da$day))
str(xts.vix)

## An 'xts' object on 2004-01-02/2011-11-21 containing:
##   Data: num [1:1988, 1:4] 18 18.4 17.7 16.7 15.4 ...
##  - attr(*, "dimnames")=List of 2
##   ..$ : NULL
##   ..$ : chr [1:4] "Open" "High" "Low" "Close"
##   Indexed by objects of class: [Date] TZ: UTC
##   xts Attributes:  
##  NULL

vix <- log(xts.vix[,"Close"])
delta.vix <- diff(vix)[-1]

作日对数收盘价的时间序列图：

plot(vix, type="l", main="VIX Daily Log Close",
     major.ticks="years", minor.ticks=NULL, 
     grid.ticks.on="auto")

明显不平稳且没有固定趋势。

作日对数收益率的时间序列图：

plot(delta.vix, type="l", main="VIX Daily Log Return",
     major.ticks="years", minor.ticks=NULL, 
     grid.ticks.on="auto")

日对数收益率的ACF:

forecast::Acf(c(coredata(delta.vix)), main="")

虽然在滞后10的位置ACF也超界，
但是在低阶就只有滞后1明显超界，
所以对数收盘价用ARIMA(0,1,1)还是合理的。
ARIMA建模：

resm <- arima(c(coredata(vix)), order=c(0,1,1)); resm

## 
## Call:
## arima(x = c(coredata(vix)), order = c(0, 1, 1))
## 
## Coefficients:
##           ma1
##       -0.1500
## s.e.   0.0244
## 
## sigma^2 estimated as 0.004561:  log likelihood = 2535.71,  aic = -5067.42

建立的模型为

Xt=Xt−1+εt−0.1500εt−1

其中σ̂ 2=0.004561。
θ=0.1500。

检验残差是否白噪声：

Box.test(resm$residuals, lag=10, fitdf=1)

## 
##  Box-Pierce test
## 
## data:  resm$residuals
## X-squared = 47, df = 9, p-value = 3.925e-07

白噪声检验很显著，
说明模型有所不足。
从差分序列的ρ̂ 10很大可以预见这个问题。

另行试验ARIMA(0,1,10):

resm2 <- arima(c(coredata(vix)), order=c(0,1,10)); resm2

## 
## Call:
## arima(x = c(coredata(vix)), order = c(0, 1, 10))
## 
## Coefficients:
##           ma1      ma2      ma3      ma4      ma5      ma6      ma7      ma8
##       -0.1493  -0.0716  -0.0484  -0.0258  -0.0303  -0.0401  -0.0131  -0.0181
## s.e.   0.0223   0.0226   0.0228   0.0225   0.0226   0.0236   0.0231   0.0219
##          ma9    ma10
##       0.0092  0.0966
## s.e.  0.0245  0.0230
## 
## sigma^2 estimated as 0.004453:  log likelihood = 2559.57,  aic = -5097.13

Box.test(resm2$residuals, lag=20, fitdf=10)

## 
##  Box-Pierce test
## 
## data:  resm2$residuals
## X-squared = 9.5782, df = 10, p-value = 0.4782

这个模型的白噪声检验通过，而且AIC也更好。

注意我们用了8年的数据，
教材(Tsay 2013)用的数据是2008-05-01到2010-04-19为两年数据。
两年数据可能ARIMA(0,1,1)就足够。

○○○○○

其它指数平滑方法

简单指数平滑，
相当于只用一个变化的水平值ℓt拟合数据yt，

ℓt=αyt+(1−α)ℓt−1,

预测为

ŷ t+h|t=ℓt.

可以增加一个线性的趋势增长项bt，变成：

ℓt=bt=ŷ t+h|t=αyt+(1−α)(ℓt−1+bt−1),β(ℓt−ℓt−1)+(1−β)bt−1,ℓt+hbt.

可以增加季节项st，变成：

ℓt=bt=st=ŷ t+h|t=α(yt−st−m)+(1−α)(ℓt−1+bt−1),β(ℓt−ℓt−1)+(1−β)bt−1,γ(yt−ℓt−1−bt−1)+(1−γ)st−m,ℓt+hbt+st−m+h+m.

其中m是季节频率，如月度数据为12，
季度数据为4。
t−m+h+m是t,t−1,…,t−m+1中与t−m+h同月（季度）的值。

各项可以是相乘的。

stats包的HoltWinters()函数提供这样的指数平滑方法，
forecast包的ets()函数提供了自动选择合适的指数平滑方法并进行预报的功能。